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Mittels der Substitutionsmethode für Rekurrenzen lässt sich eine untere Schranke bzw. obere Schranke des (Rechen-)Aufwandes einer Rekursion bestimmen.

• Beschreiben der Methode

• Beispiel

Gegeben sei eine Rekursion T(n) der Form T(n) = a⋅T(n/b) + f(n). Um eine obere Schranke zu ermitteln, schätzt man diese zuerst mittels Ο-Kalkül ab. Unter Abschätzen versteht man „geschicktes Raten“. Anschließend wird die Vermutung mit Hilfe von Substitution bewiesen bzw. widerlegt. Analog ist das Vorgehen zur Bestimmung der unteren Schranke.

1. Vermutung(1): T(n) ≤ c⋅g(n), mit c > 0 bzw. T(n) ∈ Ο(g(n)) (nach Definition des Ο-Kalküls)

2. Annahme(2): Tsub(n/b) ≤ c⋅g(n/b)

3. Substitution durch Einsetzen der Annahme in die Rekurrenz: T(n) ≤ a⋅Tsub(n/b) + f(n) bzw. T(n) ≤ a⋅(c⋅g(n/b)) + f(n)

4. Genaues(3) Umformens zu: T(n) ≤ c⋅g(n) → Falls dies nicht möglich ist, so war entweder die Vermutung oder die Annahme(2) falsch.

5. Beweis von T(n) ≤ c⋅g(n) durch Induktion ⇒ T(n) ∈ Ο(g(n))

• Beispiel (1): T ( n ) = 2 T ( ⌊ n 4 ⌋ ) + 8 T ( ⌊ n 16 ⌋ ) + n {\displaystyle T(n)=2T\left(\left\lfloor {\frac {n}{4}}\right\rfloor \right)+8T\left(\left\lfloor {\frac {n}{16}}\right\rfloor \right)+n}

1. Vermutung: T ( n ) ∈ ∈ O ( n ln ⁡ ⁡ ( n ) ) ⟹ ⟹ T ( n ) ≤ ≤ c ⋅ ⋅ n ln ⁡ ⁡ ( n ) {\displaystyle T(n)\in O(n\ln(n))\Longrightarrow T(n)\leq c\cdot n\ln(n)}

2. Annahme: T s u b 1 ( n 4 ) ≤ ≤ c ⋅ ⋅ ( n 4 ) ln ⁡ ⁡ ( n 4 ) {\displaystyle T_{sub1}\left({\frac {n}{4}}\right)\leq c\cdot \left({\frac {n}{4}}\right)\ln \left({\frac {n}{4}}\right)} und T s u b 2 ( n 16 ) ≤ ≤ c ⋅ ⋅ ( n 16 ) ln ⁡ ⁡ ( n 16 ) {\displaystyle T_{sub2}\left({\frac {n}{16}}\right)\leq c\cdot \left({\frac {n}{16}}\right)\ln \left({\frac {n}{16}}\right)}

3. Substitution: T ( n ) ≤ ≤ 2 ⋅ ⋅ T s u b 1 ( n 4 ) + 8 T s u b 2 ( n 16 ) + n {\displaystyle T(n)\leq 2\cdot T_{sub1}\left({\frac {n}{4}}\right)+8T_{sub2}\left({\frac {n}{16}}\right)+n}

4. Umformen: = 2 ( c ⋅ ⋅ ( n 4 ) ln ⁡ ⁡ ( n 4 ) ) + 8 ( c ⋅ ⋅ ( n 16 ) ln ⁡ ⁡ ( n 16 ) ) + n {\displaystyle =2\left(c\cdot \left({\frac {n}{4}}\right)\ln \left({\frac {n}{4}}\right)\right)+8\left(c\cdot \left({\frac {n}{16}}\right)\ln \left({\frac {n}{16}}\right)\right)+n} = c ⋅ ⋅ n 2 ( ln ⁡ ⁡ ( n ) − − ln ⁡ ⁡ ( 4 ) ) + c ⋅ ⋅ n 2 ( ln ⁡ ⁡ ( n ) − − ln ⁡ ⁡ ( 16 ) ) + n {\displaystyle =c\cdot {\frac {n}{2}}\left(\ln(n)-\ln(4)\right)+c\cdot {\frac {n}{2}}\left(\ln(n)-\ln(16)\right)+n} = c ⋅ ⋅ n 2 ( 2 ln ⁡ ⁡ ( n ) − − ln ⁡ ⁡ ( 4 ) − − ln ⁡ ⁡ ( 16 ) ) + n {\displaystyle =c\cdot {\frac {n}{2}}\left(2\ln(n)-\ln(4)-\ln(16)\right)+n} = c ⋅ ⋅ n ln ⁡ ⁡ ( n ) − − c ⋅ ⋅ n 2 ( ln ⁡ ⁡ ( 4 ) + ln ⁡ ⁡ ( 16 ) ) + n {\displaystyle =c\cdot n\ln(n)-c\cdot {\frac {n}{2}}\left(\ln(4)+\ln(16)\right)+n} ≤ ≤ c ⋅ ⋅ n ln ⁡ ⁡ ( n ) {\displaystyle \leq c\cdot n\ln(n)} mit c ≥ ≥ 2 ln ⁡ ⁡ ( 4 ) + ln ⁡ ⁡ ( 16 ) = 2 ln ⁡ ⁡ ( 64 ) {\displaystyle c\geq {\frac {2}{\ln(4)+\ln(16)}}={\frac {2}{\ln(64)}}}

5. Induktion: I.A.: n = 2 : T ( 2 ) = 2 ≤ ≤ c ⋅ ⋅ 2 ln ⁡ ⁡ ( 2 ) = {\displaystyle n=2:\quad T(2)=2\leq c\cdot 2\ln(2)=} mit c ≥ ≥ ln − − 1 ⁡ ⁡ ( 2 ) ≈ ≈ 1,443 {\displaystyle c\geq \ln ^{-1}(2)\approx 1{,}443} I.V.: T ( n ) ≤ ≤ c ⋅ ⋅ n ln ⁡ ⁡ ( n ) {\displaystyle T(n)\leq c\cdot n\ln(n)} für n ≥ ≥ n 0 {\displaystyle n\geq n_{0}} I.S.: n → n + 1: Da man für ein n0 gezeigt hat, dass T(n) ≤ c⋅n⋅ln(n) korrekt ist, stimmt die Vermutung. (Es zeigt sich, dass eine Konstante c ≥ 1,443 ausreicht.)

Damit folgt für T(n): T ( n ) ∈ ∈ O ( n ln ⁡ ⁡ ( n ) ) {\displaystyle T(n)\in O(n\ln(n))}

• Beispiel (2): T ( n ) = 8 T ( n 2 ) + n 3 ln ⁡ ⁡ ( n ) {\displaystyle T(n)=8T\left({\frac {n}{2}}\right)+n^{3}\ln(n)}

Siehe zu demselben Beispiel auch die Aufwandsabschätzung mit dem Θ-Kalkül im Artikel zum Mastertheorem.

1. Vermutung: T ( n ) ∈ ∈ O ( n 3 ln 2 ⁡ ⁡ ( n ) ) ⟹ ⟹ T ( n ) ≤ ≤ c ⋅ ⋅ n 3 ln 2 ⁡ ⁡ ( n ) {\displaystyle T(n)\in O\left(n^{3}\ln ^{2}(n)\right)\Longrightarrow T(n)\leq c\cdot n^{3}\ln ^{2}(n)}

2. Annahme: T s u b ( n 2 ) = c ⋅ ⋅ ( n 2 ) 3 ln 2 ⁡ ⁡ ( n 2 ) − − t ( n ) {\displaystyle T_{sub}\left({\frac {n}{2}}\right)=c\cdot \left({\frac {n}{2}}\right)^{3}\ln ^{2}\left({\frac {n}{2}}\right)-t(n)} mit t ( n ) = b ⋅ ⋅ ln 2 ⁡ ⁡ ( 2 ) ( n 2 ) 3 {\displaystyle t(n)=b\cdot \ln ^{2}(2)\left({\frac {n}{2}}\right)^{3}} und b > 0 {\displaystyle b>0}

3. Substitution: T ( n ) ≤ ≤ 8 T s u b ( n 2 ) + n 3 ln ⁡ ⁡ ( n ) {\displaystyle T(n)\leq 8T_{sub}\left({\frac {n}{2}}\right)+n^{3}\ln(n)}

4. Umformen: = 8 ( c ⋅ ⋅ ( n 2 ) 3 ln 2 ⁡ ⁡ ( n 2 ) − − b ⋅ ⋅ ln 2 ⁡ ⁡ ( 2 ) ( n 2 ) 3 ) + n 3 ln ⁡ ⁡ ( n ) {\displaystyle =8\left(c\cdot \left({\frac {n}{2}}\right)^{3}\ln ^{2}\left({\frac {n}{2}}\right)-b\cdot \ln ^{2}(2)\left({\frac {n}{2}}\right)^{3}\right)+n^{3}\ln(n)} = c ⋅ ⋅ n 3 ln 2 ⁡ ⁡ ( n 2 ) − − b ⋅ ⋅ ln 2 ⁡ ⁡ ( 2 ) n 3 + n 3 ln ⁡ ⁡ ( n ) {\displaystyle =c\cdot n^{3}\ln ^{2}\left({\frac {n}{2}}\right)-b\cdot \ln ^{2}(2)n^{3}+n^{3}\ln(n)} = c ⋅ ⋅ n 3 ( ln ⁡ ⁡ ( n ) − − ln ⁡ ⁡ ( 2 ) ) ⋅ ⋅ ( ln ⁡ ⁡ ( n ) − − ln ⁡ ⁡ ( 2 ) ) − − b ⋅ ⋅ ln 2 ⁡ ⁡ ( 2 ) n 3 + n 3 ln ⁡ ⁡ ( n ) {\displaystyle =c\cdot n^{3}\left(\ln(n)-\ln(2)\right)\cdot \left(\ln(n)-\ln(2)\right)-b\cdot \ln ^{2}(2)n^{3}+n^{3}\ln(n)} = c ⋅ ⋅ n 3 ( ln 2 ⁡ ⁡ ( n ) − − 2 ln ⁡ ⁡ ( 2 ) ln ⁡ ⁡ ( n ) + ln 2 ⁡ ⁡ ( 2 ) ) − − b ⋅ ⋅ ln 2 ⁡ ⁡ ( 2 ) n 3 + n 3 ln ⁡ ⁡ ( n ) {\displaystyle =c\cdot n^{3}\left(\ln ^{2}(n)-2\ln(2)\ln(n)+\ln ^{2}(2)\right)-b\cdot \ln ^{2}(2)n^{3}+n^{3}\ln(n)} = c ⋅ ⋅ n 3 ln 2 ⁡ ⁡ ( n ) − − c ⋅ ⋅ n 3 2 ln ⁡ ⁡ ( 2 ) ln ⁡ ⁡ ( n ) + c ⋅ ⋅ n 3 ln 2 ⁡ ⁡ ( 2 ) − − b ⋅ ⋅ ln 2 ⁡ ⁡ ( 2 ) n 3 + n 3 ln ⁡ ⁡ ( n ) {\displaystyle =c\cdot n^{3}\ln ^{2}(n)-c\cdot n^{3}2\ln(2)\ln(n)+c\cdot n^{3}\ln ^{2}(2)-b\cdot \ln ^{2}(2)n^{3}+n^{3}\ln(n)} = c ⋅ ⋅ n 3 ln 2 ⁡ ⁡ ( n ) − − c ⋅ ⋅ n 3 2 ln ⁡ ⁡ ( 2 ) ln ⁡ ⁡ ( n ) + n 3 ln ⁡ ⁡ ( n ) − − b ⋅ ⋅ ln 2 ⁡ ⁡ ( 2 ) n 3 + c ⋅ ⋅ n 3 ln 2 ⁡ ⁡ ( 2 ) {\displaystyle =c\cdot n^{3}\ln ^{2}(n)-c\cdot n^{3}2\ln(2)\ln(n)+n^{3}\ln(n)-b\cdot \ln ^{2}(2)n^{3}+c\cdot n^{3}\ln ^{2}(2)} = c ⋅ ⋅ n 3 ln 2 ⁡ ⁡ ( n ) + n 3 ln ⁡ ⁡ ( n ) ⋅ ⋅ ( 1 − − c ⋅ ⋅ 2 ln ⁡ ⁡ ( 2 ) ) ⏟ ⏟ c ≥ ≥ 1 2 ln ⁡ ⁡ ( 2 ) + n 3 ln 2 ⁡ ⁡ ( 2 ) ⋅ ⋅ ( c − − b ) ⏟ ⏟ b ≥ ≥ c {\displaystyle =c\cdot n^{3}\ln ^{2}(n)+{\begin{matrix}\underbrace {n^{3}\ln(n)\cdot (1-c\cdot 2\ln(2))} \\{}^{\rm {c\geq {\frac {1}{2\ln(2)}}}}\\[-4.5ex]\end{matrix}}+{\begin{matrix}\underbrace {n^{3}\ln ^{2}(2)\cdot (c-b)} \\{}^{\rm {\ b\geq c}}\\[-4.5ex]\end{matrix}}}

≤ ≤ c ⋅ ⋅ n 3 ln 2 ⁡ ⁡ ( n ) {\displaystyle \leq c\cdot n^{3}\ln ^{2}(n)} mit b ≥ ≥ c ≥ ≥ 2 ln − − 1 ⁡ ⁡ ( 2 ) {\displaystyle \ b\geq c\geq 2\ln ^{-1}(2)}

5. Induktion: I.A.: n = 2 : T ( 2 ) ≈ ≈ 5 , 5 ≤ ≤ c ⋅ ⋅ 2 3 ln 2 ⁡ ⁡ ( 2 ) {\displaystyle n=2:\quad T(2)\approx 5{,}5\leq c\cdot 2^{3}\ln ^{2}(2)} mit c ≥ ≥ 1 {\displaystyle c\geq 1} I.V.: T ( n ) ≤ ≤ c ⋅ ⋅ n 3 ln 2 ⁡ ⁡ ( n ) {\displaystyle T(n)\leq c\cdot n^{3}\ln ^{2}(n)} für n ≥ ≥ n 0 {\displaystyle n\geq n_{0}} I.S.: n → n + 1: Da man für ein n0 gezeigt hat, dass T(n) ≤ c⋅n3ln2(n) korrekt ist und c eine beliebig große Konstante sein darf, stimmt die Vermutung. (Eine Konstante c ≥ 4 ist hinreichend groß für alle n.)

Damit folgt für T(n): T ( n ) ∈ ∈ O ( n 3 ln 2 ⁡ ⁡ ( n ) ) {\displaystyle T(n)\in O(n^{3}\ln ^{2}(n))}